Número
29 | Julio-diciembre, 2019 | ISSN 1870-5308
©
Todos los Derechos Reservados
Instituto
de Investigaciones en Educación |
Universidad Veracruzana
Ciclos de
entendimiento de estudiantes universitarios al resolver una actividad de proporcionalidad
Understanding Cycles on College Students on Solving
Activity Related with Proportionality
María
José Aviña González, Verónica Vargas Alejo, Angelina Alvarado Monroy y
César Cristóbal Escalante
Recibido: 25 de agosto de 2018
Aceptado: 8
de enero de 2019
Resumen: En este artículo se presentan hallazgos
de una investigación cuyo objetivo fue identificar y desarrollar el conocimiento y
habilidades matemáticas asociadas con la proporcionalidad y conceptos como
número racional, proporción y función lineal, que exhiben estudiantes universitarios al
resolver problemas relacionados con situaciones cercanas a la vida real. La población
participante fue un grupo de estudiantes de primer semestre de Licenciatura en
Medicina. La perspectiva de Modelos y Modelación y la Teoría de los Campos
Conceptuales Multiplicativos constituyeron el marco teórico que permitió
diseñar, estructurar y evaluar la actividad provocadora de modelos utilizada,
así como documentar el aprendizaje de los estudiantes. La metodología fue
cualitativa. Los resultados indican que los ciclos de entendimiento
cualitativos y cuantitativos que emergieron estuvieron caracterizados por el
uso de razones u operadores escalares. No fueron utilizados operadores
funcionales y, por lo tanto, no emergieron ciclos de entendimiento algebraico,
aun cuando se exhibió reconocimiento de patrones.
Palabras clave: Proporcionalidad; Actividad Provocadora
de Modelos; Campos Conceptuales Multiplicativos; Nivel Universitario.
Abstract: This article presents some research findings in
college students when they solve situations close to real life. Its objective
was to identify and develop the mathematical knowledge and abilities centered in the notion of proportionality and other related
concepts (rational number, proportion and linear function). The participating
population was a first semester students group from
bachelor of medicine. Models and Modeling perspective
and Multiplicative Conceptual Fields Theory constitute the theoretical
framework used for designing, structuring and evaluating the activity, as well
as, it helps to evaluate the students learning. The methodology was
qualitative. The results show that qualitative and quantitative understanding
cycles emerged and the use of ratios and scalar operators distinguish them.
There was no use of functional operator, so the algebraic understanding didn’t
emerge.
Keywords:
Proportionality; Model-Eliciting Activities; Multiplicative Conceptual Field;
College level.
Introducción
La proporcionalidad es una noción clave para la comprensión de otros
conceptos como función, ecuación, incluso algunos conceptos de probabilidad. Se
encuentra presente en la currícula mexicana desde
primaria hasta los niveles superiores de educación (Megginson,
Sosa, Padilla-Carrillo, Solares, Martínez & Lozano, 2015) y, es una noción
requerida con frecuencia en la resolución de problemas cotidianos. Sin embargo,
se ha observado que los estudiantes (incluso de nivel superior) tienen
dificultades para comprender operaciones básicas con fracciones, entender lo
que son las razones y, por lo tanto, usar la proporcionalidad en el análisis y
descripción de situaciones (Valverde, 2012). Esta problemática se observa en el
aprendizaje de los estudiantes universitarios que cursan varias licenciaturas,
entre ellas la de medicina y enfermería. Por ejemplo, García-Oliveros,
Granados-Silva Pinillos-Bohórquez (2009, p. 73) identifican “un serio problema
tanto para los profesionales de la salud, responsables de suministrar la
medicación, como para las instituciones y para los pacientes debido a la
repercusión humana, asistencial y hasta económica” que se deriva de un mal
cálculo de dosis y, por lo tanto, de errores de medicación asociados con una
falta de desarrollo del razonamiento proporcional. García-Oliveros,
Granados-Silva y Pinillos-Bohórquez (2009) describen lo anterior a partir de un
estudio realizado con estudiantes de enfermería, vinculado a la administración
de medicamentos, donde se reconoce al razonamiento proporcional como un área
problemática en la carrera de enfermería que debe atenderse.
En este artículo se busca dar respuestas a
las preguntas ¿qué conocimiento y habilidades matemáticas, relacionadas con
proporcionalidad, exhiben los estudiantes universitarios de los primeros
semestres de la Licenciatura en Medicina al resolver situaciones cercanas a la
vida real?, ¿cómo se modifica, extiende y refina este conocimiento y
habilidades durante el proceso de resolución de una Actividad Provocadora de
Modelos [APM]? Para ello, se diseñaron e implementaron APM en el marco de la
perspectiva de Modelos y Modelación (Doerr, 2016; Lesh, 2010; Lesh & Doerr, 2003). Interesaba describir cómo los estudiantes
universitarios de la carrera de medicina abordaron una de las actividades; es
decir, cómo utilizaron información dada en la situación problemática, cómo
organizaron los datos, cómo realizaron el análisis dimensional y las
representaciones matemáticas utilizadas. Se documentó el surgimiento de
distintos ciclos de entendimiento (Vargas-Alejo, Reyes-Rodríguez, &
Cristóbal-Escalante, 2016)
asociados con los conceptos y representaciones utilizadas al abordar la
situación problemática.
La actividad, que se describe en este artículo,
forma parte de un conjunto de cinco actividades diseñadas e implementadas
durante el desarrollo de la asignatura Matemáticas Generales en la Universidad
de Quintana Roo. El programa de dicha asignatura, sugiere que los estudiantes
aprendan a resolver problemas y a modelar situaciones cercanas a la vida real
(o profesional) y, de manera simultánea, profundicen en conceptos matemáticos,
como proporcionalidad, progresiones aritméticas y funciones. Es decir, se busca
que el aprendizaje de los conceptos se asocie con la descripción
interpretación, predicción y control del comportamiento de diversos fenómenos.
1 Marco teórico
Enseguida se describen
aportes teóricos que sustentaron el análisis, diseño, desarrollo,
implementación y evaluación del estudio. Por ejemplo, la Perspectiva de Modelos
y Modelación fue importante por la concepción que ofrece sobre aprender
matemáticas y el tipo de actividades a utilizar en el aula. Estudios como los
de Cramer y Post (1993), Vergnaud
(1995) y Lesh, Post y
Behr (1988) fueron utilizados
para concretar el contenido matemático subyacente de las situaciones
problemáticas y contextos diseñados.
1.1 Estudios sobre
proporcionalidad
Al
ser una noción elemental, la proporcionalidad ha sido objeto de estudio desde
muy diversos enfoques dentro de la investigación en didáctica de las
matemáticas (Cramer & Post, 1993;
García-Oliveros, Granados-Silva, & Pinillos-Bohórquez, 2009; Godino & Batanero, 2002; Lamon,
1993; Lesh & Doerr,
2003; Lesh, Post, & Behr,
1988; Ramírez & Block, 2009; Noelting, 1980 y Vergnaud, 1990; 1994: 1995).
En estudios como los de Cramer
y Post (1993) se aborda la necesidad de que los estudiantes resuelvan distintos
tipos de problemas en el salón de clases. Por ejemplo, en el Proyecto de Número
Racional,[1]
desarrollaron diferentes tipos de tareas para evaluar de manera diferenciada la
comprensión de la proporcionalidad. A partir de los resultados, concluyeron que
los estudiantes deberían resolver problemas en los que se utilizaran diferentes
contextos reales que incluyeran: valor faltante, comparación numérica,
comparación y predicción cualitativa, para mejorar su aprendizaje. La
instrucción debería iniciar con contextos familiares y extenderse a aquellos
menos familiares. Por otra parte, sugirieron que se deberían enseñar múltiples
estrategias, incluyendo la tasa unitaria, el factor de cambio, las fracciones y
el algoritmo de producto cruz (regla de tres). Cramer
y Post (ibid)
pusieron énfasis en la necesidad de promover un aprendizaje basado en los
conceptos más que en procedimientos algorítmicos.
De
acuerdo con Lesh, Post
y Behr (1988), el desarrollo del
pensamiento proporcional involucra el sentido de covariación
y comparaciones múltiples, y la habilidad para almacenar y procesar mentalmente
distintos tipos de información. Señalan la existencia de cierta continuidad
desde la multiplicación (suma reiterada) hasta la proporcionalidad. Sugieren la
necesidad de diseñar situaciones problemáticas que posibiliten la
conceptualización de estructuras multiplicativas que tomen en cuenta el
análisis de la variación entre magnitudes, más que la adición repetida de una
misma cantidad. Se vuelve importante la realización de análisis dimensionales y
tablas de variación asociadas con la resolución de problemas de multiplicación
y división para mejorar la comprensión.
Por
su parte, Burgos, Giacomone, Beltrán-Pellicer y Godino (2017) identificaron niveles de algebrización
que pueden emerger en una tarea de proporcionalidad. Reconocen la existencia de
un nivel 0 al cual describen propiamente aritmético, hasta un nivel 4 que
caracterizan por el surgimiento de la introducción de parámetros. En estos
niveles los estudiantes utilizan procedimientos cada vez más complejos que van
desde estrategias aritméticas, uso y cálculo de tasas unitarias, utilización de
la regla de tres y diagramas, hasta el uso de la generalización, mediante la
utilización de parámetros.
1.1.1
Proporcionalidad de acuerdo con Vergnaud
En
el mismo sentido de lo antes expuesto en esta sección, es importante incluir
los aportes de Vergnaud (1990) en cuanto a la Teoría
de los Campos Conceptuales, la cual da “cuenta de los procesos de
conceptualización progresiva de las estructuras aditivas, multiplicativas,
relaciones número-espacio, y del álgebra” (p. 1). El campo conceptual de
estructuras multiplicativas es, a la vez, el conjunto de las situaciones cuyo
tratamiento implica una o varias multiplicaciones o divisiones, y el conjunto
de conceptos y teoremas que permiten analizar estas situaciones.
Vergnaud (1994) explica que, en el isomorfismo de la medida
establecido entre dos unidades dimensionales distintas (o espacios de medida),
existe una relación cuaternaria; es decir, cuatro magnitudes o términos covarían permitiendo hallar el valor de una de ellas para
su solución. Esto implica que, incluso en los problemas más simples que
involucren realizar operaciones de multiplicación y división, se requiere de la
proporción simple entre dos variables, una en relación con la otra. Ello da
lugar a cuatro tipos de problemas elementales (Vergnaud,
1990): “la multiplicación, la división-partición, la división cuotición y la cuarta proporcional” (p. 12).
La
dificultad de los problemas puede variar; ello depende del tipo de cantidades
numéricas que se utilicen como datos, o bien, del tipo de experiencia que
requieran por parte del estudiante. La dificultad también depende de la
necesidad de establecer una combinación de dos proporciones para resolver el problema,
así como, de que se requiera encadenar funciones que liguen a las variables dos
a dos o por producto.
Vergnaud (1995) destaca dos procedimientos de solución que
nombra como Análisis Vertical o Escalar [AV]
y Análisis Horizontal [AH]. El
primero se establece ante una relación entre magnitudes de la misma unidad
dimensional o mismo espacio de medida, donde el estudiante utiliza al menos un
operador razón. El AH se presenta ante una relación entre magnitudes de
distinta unidad dimensional (espacio de medida diferente), por lo tanto, el
estudiante debe hacer análisis de unidad dimensional o una regla de tres.
En
el AV intervienen los operadores escalares (círculos en la Figura 1). Para resolver problemas elementales se
pueden aplicar dos operadores de manera sucesiva (uno para multiplicar y, otro
para dividir o viceversa, ver flecha en contorno continuo y flecha en contorno
punteado en la Figura 1), sin llevar a cabo un análisis dimensional. De acuerdo con Vergnaud (1990), la
comprensión de las nociones razón, razón-operador (flecha de relleno sólido en
Figura 1) y proporción, están dentro de las dificultades que tienen los
estudiantes al resolver problemas utilizando estos operadores.
El
Análisis Horizontal (flechas
horizontales en la Figura 1 implica un nivel conceptual más elaborado, por
estar centrado en el operador función (triángulo en la Figura 1) y enlazar, por
lo tanto, la comprensión de esta noción.
Figura 1. Diagrama sagital que muestra el Análisis Vertical y Análisis Horizontal del problema del Chef.
Fuente: Adaptado de Vergnaud (1995).
A
manera de ejemplo, se analizará el siguiente problema: “Un chef está
escribiendo la receta para hacer un pay, ello implica que debe describir los
ingredientes utilizados en gramos. Si sabe que aproximadamente 45 galletas
pesan 170 gramos (g) y para la base del pay utilizó 58 galletas, ¿cuál es el
peso aproximado en gramos de las galletas que debe escribir en la receta?”
Vergnaud explica que el AV se centra en la noción de
operador-escalar (sin dimensión) y las resume en dos etapas. En la primera
etapa, el procedimiento para pasar de 45 galletas a una galleta (dividiendo
entre 45), puede ser el mismo que para obtener el peso de una galleta a partir
del peso de 170 g: se debe dividir 170 entre 45 (así se puede obtener α, valor
unitario en gramos por galleta). En esta etapa del AV (flechas en contorno
continuo en la Figura 1) se podría evitar el manejo de unidades dimensionales
distintas (galletas y gramos).
Para
la segunda etapa del AV se considera que, así como se transita de una galleta a
58 galletas (multiplicando por 58) se puede calcular, con base en el peso de
una galleta (α), el peso de 58 galletas (β). En la Figura 1 se muestra esta
etapa con flechas en contorno punteado. Como se observa, tampoco podría
requerirse del manejo de unidades dimensionales distintas.
De
manera sucinta, podría decirse que es posible transitar directamente de 45 a 58
galletas, multiplicando por el operador fraccionario (58/45), que no es otra
cosa que la aplicación sucesiva de dos operadores escalares (÷45) y (x58). El
mismo operador fraccionario permite pasar del peso de 45 galletas (170 gramos)
al peso de 58 galletas (β). Este paso podría tomarse por trivial, sin embargo,
el operador fraccionario (58/45) representa, de manera sintética, la
aplicación sucesiva de dos operadores multiplicativos: una división (÷45) y la
multiplicación (x58). Lo cual, permite comenzar ya sea por la división o por la
multiplicación.
Se puede considerar, también, que el operador
fraccionario representa la multiplicación por la razón (ver relación marcada
con la flecha de relleno sólido en la Figura 1). Por ejemplo, al intervenir una
proporción o igualdad de dos razones:
Por otra parte, el AH está centrado en la
noción de 
como operador-función (razón representada por
un triángulo en la Figura 1) que hace pasar de una categoría a otra o unidades
dimensionales distintas (cantidad de piezas de galletas al peso de las galletas
en gramos). Para este análisis, Vergnaud describe las siguientes etapas:
Primera etapa AH. El operador-función que permite pasar de 58 galletas a β gramos es
el mismo requerido para pasar de 45 galletas a 170 gramos (flechas
horizontales, Figura 1).
Segunda etapa AH. Este operador-función
implica la multiplicación por la razón (dato en un triángulo en la Figura 1).
Para ejemplificar lo anterior, tenemos que:
β gramos de galletas = 58 galletas ( 
) gramos/galletas
El AH se sitúa en un nivel conceptual más
elaborado, dada la comprensión de la noción de función con la cual está
relacionada. Vergnaud
(1995) relaciona el análisis de unidades dimensionales con la regla de tres y
señala que la “regla de tres teórica” plantea dificultades distintas y
desiguales para los estudiantes, ya que deja de ser trivial cuando es
comprendida como una relación cuaternaria de variables, pues en ocasiones,
requiere de un análisis dimensional.
El investigador también menciona las
relaciones de doble proporcionalidad, las cuales implican una demanda cognitiva
mayor a las relaciones de proporcionalidad simple, Si bien, estas pueden ser
resueltas al llevar a cabo, de manera consecutiva, dos relaciones de
proporcionalidad simple, la estructura conceptual que subyace en una relación
de doble proporcionalidad implica una complejidad mayor.
Para ejemplificar la relación de doble
proporcionalidad descrita por Vergnaud retomemos el ejemplo del chef que desea
escribir una receta para pay. Supongamos que ahora necesita obtener la cantidad
necesaria del ingrediente w (harina,
azúcar, sal, etc.) en kilogramos. El problema podría ser el siguiente: “El chef requiere obtener el ingrediente w en kilogramos. Al momento de realizar
la receta del pay ha usado α cucharadas de w
para la elaboración del postre. Sin embargo, desea escribir la cantidad
necesaria w en kilogramos. Para hacer
esto, el chef decide calcular a cuántas cucharadas equivale una taza y cuántas
tazas equivalen a un kilogramo de w.
El chef encuentra la siguiente relación: con 11 cucharadas se llena una taza de
ingrediente w y con 4.5 tazas se
logra alcanzar el equivalente de un kilogramo de w”.
La relación antes descrita
puede ser organizada por los estudiantes de manera tabular como se muestra en
la Figura 2.
Figura 2. Preguntas asociadas a
la organización tabular de datos en la proporcionalidad simple.
Fuente: elaboración propia.
Esto tambien puede ser
resumido en una sola organización tabular (Tabla1).
Tabla 1. Representación tabular que permite
visualizar los datos e incógnitas en una relación de doble proporcionalidad
Fuente: elaboración propia.
En la Tabla 1 se observan relaciones
multiplicativas, las cuales se pueden escribir mediante funciones lineales
(donde: 
cantidad en cucharadas del ingrediente w; 
cantidad en tazas del ingrediente w; 
cantidad en kilogramos del ingrediente w).
; 
De lo anterior se puede obtener:
= 
De
acuerdo con Vergnaud (1990) este último posible razonamiento muestra un mayor
nivel cognitivo de la noción de proporcionalidad.
Vergnaud (1990) considera que “los conceptos de fracción, de
cociente, de número racional, de producto y de cociente de dimensiones, de
escalares, de función lineal […] toman primitivamente su sentido en los
problemas de proporción” (p. 13). Para el investigador, aprender la noción de
proporcionalidad implica comprender los conceptos relacionados, entender
procedimientos como AH, AV, análisis dimensional, regla de tres y poder
utilizarlos al resolver problemas o situaciones reales. Es en este punto, donde
Vergnaud (1990) coincide con la Perspectiva de
Modelos y Modelación, en el sentido de que los conceptos y procedimientos no
están aislados entre sí, están interrelacionados y forman parte de una red o
sistema conceptual que el estudiante debe aprender.
1.2 Perspectiva de
Modelos y Modelación [PMM]
Desde
esta perspectiva (Doerr, 2016; Lesh,
2010; Lesh & Doerr,
2003), el aprendizaje es un proceso de desarrollo de sistemas conceptuales que
surgen cuando los estudiantes analizan situaciones que tienen más de una
respuesta y cuya solución no es un número o una palabra, sino situaciones que
ameritan describir, argumentar y explicar. En PMM, un modelo es definido como
un sistema de elementos, relaciones, reglas y operaciones que pueden ser usados
para explicar, predecir o describir algún otro sistema. Por lo tanto, el
aprendizaje de un concepto matemático ocurre a través del proceso de
desarrollar un modelo adecuado a una situación que puede ser usado y
reutilizado en cierto rango de contextos (Doerr,
2016).
Aprender
matemáticas es un proceso que involucra ciclos progresivos de construcción de
entendimiento, modificación, extensión y refinamiento de maneras de pensar (Lesh, 2010); en estos ciclos, los sujetos profundizan un
concepto o constructo matemático en distintos niveles al relacionar datos,
metas y posibles rutas de solución al enfrentar una situación problemática.
Generalmente, los primeros modelos o interpretaciones son burdos, pero
paulatinamente van refinándose, esto se debe a que el conocimiento es parecido
a un organismo vivo, no es algo inerte, es un sistema dinámico que está adaptándose
y autorregulándose continuamente. La evolución involucra diferenciación,
integración y refinamiento de sistemas inestables, por lo que también comprende
discontinuidad y reorganización conceptual.
Dentro
de PMM, pensar de manera matemática es: construir, describir, explicar,
calcular, identificar patrones y regularidades en sistemas complejos; realizar
representaciones de sistemas relevantes que incluyan una variedad de medios
escritos, hablados, construidos y dibujados. La fluidez en las representaciones
es crucial para construir modelos y entender conceptos matemáticos. Es por ello
que, el proceso se considera como producto del aprendizaje y no el modelo. Este
último reside en la mente del individuo y en los medios bajo los cuales es
representado donde se ven reflejados los significados asociados con un sistema
conceptual determinado (Lesh & Doerr, 2003).
Las
actividades, que se utilizan en el aula, son esenciales para propiciar
conocimiento (Lesh, 2010); deben permitir a los
estudiantes aprender conceptos matemáticos, pero no de manera aislada, sino de
manera interrelacionada. Por lo tanto, se propone que los estudiantes realicen
cierto tipo de actividades, entre ellas las APM, llamadas así porque permiten
que el estudiante, al abordarlas, genere productos que van más allá de
respuestas cortas a preguntas específicas (Cpalms,
2018). Las APM propician manipular, modificar, compartir y reutilizar
herramientas conceptuales (e.g. modelos) para
construir, describir, explicar, manipular, predecir o controlar sistemas
matemáticos significativos. Las actividades requieren de la matematización
mediante procesos que implican cuantificar, dimensionar, coordinar,
categorizar, traducir al lenguaje algebraico y sistematizar objetos relevantes
sus relaciones, acciones, patrones y regularidades (Lesh
& Doerr, 2003).
Doerr (2016) explica que las Actividades Provocadoras de
Modelos permiten, a los equipos de estudiantes, involucrarse en un proceso
interactivo donde ellos expresan, prueban y redefinen sus maneras de pensar
sobre situaciones problemáticas significativas. Las APM son diseñadas para
favorecer la construcción de un modelo generalizable que aclare y delimite la
estructura matemática de la situación del problema. La actividad propicia
entendimiento matemático nuevo en los estudiantes al estar en un contexto
significativo donde exhiben, a lo largo de la tarea, su conocimiento actual
proveniente tanto de su experiencia como de su conocimiento matemático. Este
conocimiento se expresa, usualmente, mediante el uso de medios de
representación como: modelos concretos, metáforas basadas en la experiencia,
lenguaje hablado, diagramas o dibujos, símbolos escritos, tablas, gráficas y
ecuaciones (Lesh & Doerr,
2003). Cuando los estudiantes realizan las APM pueden pasar por varios ciclos
de entendimiento conceptual. El entendimiento conceptual se relaciona con el
proceso de matematización de los estudiantes, es
decir, con las ideas cualitativas que emergen, la forma de cuantificar
información, atribuir dimensiones, organizar y analizar datos y hacer
operaciones.
Algunas
APM (e.g. Lesh & Yoon, 2004) propician que los estudiantes realicen sus
primeras descripciones de manera cualitativa. Identificando la existencia de
variables y cierta relación entre ellas, mediante el uso de metáforas basadas
en la experiencia, sin utilizar representaciones tabulares, gráficas o
algebraicas. El estudiante caracteriza las relaciones con términos como “es más
pequeño”, “es más grande”.
Las
descripciones pueden evolucionar y las características cualitativas o
comparaciones se pueden volver numéricas. Es posible que en un segundo ciclo de
entendimiento los estudiantes exhiban ambos tipos de descripciones
(cualitativas y cuantitativas), pero ahora los datos y las relaciones tienden a
expresarse numéricamente, mediante tablas y gráficas. Vargas-Alejo,
Reyes-Rodríguez y Cristóbal-Escalante (2016) propusieron,
con base en la interpretación dada a PMM (Lesh & Doerr, 2003), que los estudiantes pueden exhibir ciclos de
entendimiento cualitativos, cuantitativos y algebraicos (Tabla 2) al resolver
situaciones problemáticas; al ciclo algebraico lo caracterizan de la siguiente
manera:
El ciclo de entendimiento algebraico, es aquel en el
cual los estudiantes ya han pasado por diferentes fases de diferenciación,
integración y refinamiento de los distintos sistemas o modelos. En este ciclo
los estudiantes muestran un uso fluido de las representaciones (tabulares,
gráficas, verbales, etc.), así como la manipulación de símbolos algebraicos
para resolver una situación (p. 70).
El hecho de que los estudiantes puedan usar
distintas representaciones (Tabla 2) para explicar, describir e interpretar las
APM es un indicador del entendimiento del conocimiento matemático porque de
acuerdo con Lesh y Doerr
(2003, p. 12): “los significados asociados con un sistema
conceptual dado, tienden a
estar distribuidos a través de una variedad de medios representacionales”.
Tabla
2. Resumen de los ciclos de entendimiento
|
Ciclo |
Se caracteriza porque el estudiante |
Posibles representaciones que emergen en la resolución |
Observaciones |
|
Cualitativo |
Da sentido a la situación en
la que se desarrolla el problema,
así como a las variables
involucradas y la posible relación entre
ellas. |
El estudiante no utiliza representaciones matemáticas (números,
tablas, gráficas o expresiones algebraicas). |
El estudiante puede expresar el comportamiento y la relación entre
variables mediante términos lingüísticos. |
|
Cuantitativo |
Es capaz de establecer cuantitativamente qué significan las expresiones lingüísticas y las
comparaciones se vuelven numéricas. |
El alumno expresa los datos y sus
relaciones entre sí mediante representaciones tabulares y gráficas. |
El manejo de estas representaciones
puede permitir al estudiante comprender y describir el problema o situación. |
|
Algebraico |
Puede llegar a mostrar fluidez
en las representaciones (tabulares, gráficas, verbales, etc.)
y manejo de símbolos algebraicos al
resolver una situación. |
El estudiante, para describir e interpretar un fenómeno, construye,
usa, transita y coordina distintas representaciones matemáticas. |
Es posible que los estudiantes
que alcancen este ciclo hayan
diferenciado, integrado y refinado distintos
sistemas conceptuales o modelos previos. |
Fuente: Descripción tomada y
adaptada de Vargas-Alejo, Reyes-Rodríguez y Cristóbal-Escalante (2016).
Los aportes antes descritos
fueron el sustento teórico que marcó las directrices para esta investigación.
Se tomó en cuenta principalmente la Perspectiva de Modelos y Modelación
(sección 1.2), dado que, en esta
investigación interesó identificar el desarrollo del conocimiento y habilidades
de los estudiantes en relación con el sistema conceptual de la noción de
proporcionalidad. Fue importante que las actividades implicaran la resolución
de problemas de proporción cercanos a contextos reales (tal como lo sugieren Cramer & Post, 1993) y el manejo interrelacionado de
conceptos (Vergnaud, 1995). Se determinó que las
actividades iniciales serían aquellas que permitieran el uso de relaciones
cuaternarias, y la proporción simple entre dos variables, una en relación con
la otra. En el análisis de resultados se utilizó la
caracterización de los ciclos de entendimiento (Tabla 2), dado que dichos
ciclos, de manera simultánea a la evolución en la habilidad para comunicarlos,
se asocian con la profundización de un concepto matemático.
2 Metodología
Este
estudio fue cualitativo porque se documentó y analizó información asociada con
el conocimiento y habilidades matemáticas relacionadas con la proporcionalidad,
que exhiben los estudiantes de la Licenciatura en Medicina, al resolver
situaciones cercanas a la vida real; así como se identificó y analizó cómo se
modifica, extiende y refina este conocimiento y habilidades durante el proceso
de realización de una APM. Para ello, se
detectaron ciclos de entendimiento, el tipo de representaciones y conceptos
utilizados, así como, los procedimientos en los que el Análisis vertical y el Análisis
horizontal fueron fundamentales por su relación con el uso de razones y
relaciones funcionales.
2.1 Población de estudio
La
población en este estudio fue un grupo de 21 estudiantes de primer ingreso a la
Licenciatura en Medicina impartida en la División de Ciencias de la Salud de la
Universidad de Quintana Roo. Las edades de los alumnos variaban entre los 18 y
21 años. Los estudiantes se encontraban cursando la asignatura de Matemáticas
Generales, la cual, forma parte de las materias del tronco común
en los planes de estudio de carreras profesionales tanto en Licenciaturas como
en Ingenierías de la Universidad de Quintana Roo. La asignatura tiene entre sus
objetivos principales orientar a los estudiantes para utilizar los
conocimientos matemáticos adquiridos a lo largo de su trayectoria académica en
la resolución de problemas y modelación de situaciones cercanas a la vida real.
Esta asignatura está dividida en cuatro unidades: Álgebra, Progresiones,
Funciones y Probabilidad y Estadística. A lo largo del curso se promueven los
conocimientos matemáticos básicos necesarios para la vida académica y
profesional del estudiante.
La noción de proporcionalidad se incluye en
la unidad de Funciones, pero no únicamente guarda relación con los demás temas
de la asignatura de Matemáticas generales, también es básica para la
comprensión y resolución de problemas en otras disciplinas como: Epidemiología,
Dosificación de fármacos, Salud pública, Química molecular o Nutrición, por
mencionar algunas asignaturas del actual plan de estudios. Es decir, los
estudiantes requieren desarrollar razonamiento proporcional para estar en
condiciones de resolver problemas más complejos o bien de otras disciplinas. Un
ejemplo de problemas podría ser el caso hipotético de suministro de medicamento
propuesto por Barrera-Mora y Santos-Trigo (2000) que en una versión más
sencilla se encuentra en el libro editado por National Council of Teachers of Mathematics (2003).
Los
participantes en este estudio, previo a la implementación de la actividad que
se describe en este artículo, habían revisado en clases de la asignatura
conceptos matemáticos como: razón, progresiones aritméticas y geométricas,
entre otros. Sin embargo, de acuerdo con los comentarios de su profesor
habitual, estos temas habían sido abordados mediante métodos expositivos y con
la resolución de ejercicios o problemas descontextualizados que requerían respuestas
únicas y/o cortas. No habían realizado, durante el curso, actividades
semejantes a las APM (ver punto 2.2); tampoco habían tenido oportunidad de
resolver problemas que implicaran la formulación de conjeturas, presentación de
argumentos y comunicación de resultados.
2.2 Actividad
A diferencia de
García-Oliveros, Granados-Silva y Pinillos-Bohórquez (2009) cuya propuesta se
orienta a la resolución de problemas con respuestas únicas y cortas, en este
estudio se consideró importante utilizar APM, diseñadas con base en las
sugerencias derivadas de la PMM (Doerr, 2016). Una
descripción detallada de los principios que rigen el diseño se puede revisar en
Vargas-Alejo, Reyes-Rodríguez y Cristóbal-Escalante (2018).
|
|
Figura 3 Actividad de calentamiento.
Fuente: elaboración
propia.
|
|
Figura 4 Situación problemática: dieta blanda hospitalaria.
Fuente:
elaboración propia
La APM constó de una actividad
de calentamiento (Figura 3) y una situación problemática a resolver (Figura 4).
La actividad de calentamiento constaba de un artículo informativo respecto a
las dietas hospitalarias, cuyo título fue: Importancia de la calidad
alimentaria en las clínicas y hospitales. El objetivo de la actividad era
introducir el contexto en el cual se desarrollaba la situación problemática
(Figura 4), así como, aclarar dudas respecto a términos utilizados como: costo,
logística, dieta, entre otros.
La
APM se denominó “Dieta blanda hospitalaria” y trata de una posible prescripción
médica del platillo de dieta blanda de un hospital. Incluía datos relevantes
para la resolución del problema como: la cantidad requerida por ingrediente
para la realización de la dieta blanda de un paciente adulto (se incluían datos
en cantidades discretas y continuas, como la cantidad exacta de taza de puré de
manzana para cada dieta de un adulto o la cantidad de galletas por paciente
adulto); cantidad esperada de pacientes en el hospital que podrían requerir
alimentos (se estimaba un número de pacientes por día de una semana
específica); costo aproximado de los ingredientes por presentación comercial
(se proporcionaban costos aproximados, como el precio del kilo de manzanas para
hacer puré o el costo del paquete de galletas) y cantidades equivalentes por
ingrediente (por ejemplo, se incluía el dato de cuántas manzanas se requerían
para hacer una taza de puré, así como, una aproximación respecto a las unidades
de manzanas a las que equivalía un kilogramo)[2],
lo cual, implicaba la conversión de una unidad dimensional a otra. La APM
solicitaba la construcción de un procedimiento compartible, modificable y
reutilizable para estimar la cantidad de ingredientes a comprar y posible
costo; de tal manera que se satisficiera la demanda alimenticia del hospital,
para una situación particular y cualquiera en general. Lo anterior, es
planteado en el problema de la siguiente manera (Figura 4): “Es importante que
consideres que la información con la que cuentan está basada en estimaciones y
puede llegar a cambiar, esto significa que puede verse modificada la cantidad
de pacientes en el hospital, o en los costos de las presentaciones de los
alimentos, etc. Por ello, sugiere un procedimiento que les permita (a los interesados)
hacer modificaciones cuando sean necesarias”. A partir de la solución
particular, se esperaba que los estudiantes construyeran una general o bien,
transitaran del ciclo de entendimiento cuantitativo al algebraico.
2.3 El trabajo en el
aula
La implementación de las actividades se llevó a
cabo en cuatro fases.
Fase 1: Entrega de actividad de calentamiento
(trabajo en equipo). Esta fase comenzó, tal como la PMM lo sugiere, con la lectura de la
actividad de calentamiento (la cual se realizó en equipo) y terminó con la discusión grupal de las
respuestas a las preguntas incluidas en el artículo (al final de la actividad
se encontraban preguntas de comprensión relacionadas con términos como “costo”
y “logística”, ejemplo: ¿a qué crees que se refiera la lectura cuando menciona
que los costos y la logística representan un reto en la gestión hospitalaria?).
Enseguida, los estudiantes se organizaron en siete equipos, compuestos por tres
integrantes cada uno, para resolver las actividades en un ambiente
colaborativo.
Fase 2: Entrega del problema (trabajo en
equipo). En esta fase se entregó el problema a los alumnos para ser resuelto en
un ambiente colaborativo. Los estudiantes conformados en equipo, construyeron
modelos, los modificaron y evaluaron. Finalmente, los prepararon para presentar
en una discusión grupal. Esta fase sirvió para identificar los conocimientos
previos de los estudiantes.
Fase 3: Discusión grupal y cierre de la sesión.
En esta fase los equipos de estudiantes presentaron sus modelos al grupo; los
describieron, argumentaron y explicaron. Se llevó a cabo una discusión grupal
con el objetivo de ampliar y extender los modelos. La discusión permitió la
reflexión y, en algunos casos, la reformulación. Además, los estudiantes
modificaron, extendieron y refinaron sus conocimientos previos con el apoyo del
profesor-investigador.
Fase 4: Trabajo individual. Esta fase consistió
en realizar la APM de manera individual como tarea extra clase. El objetivo fue
que el estudiante integrara y refinara su conocimiento al reconstruir un modelo
propio de solución. El modelo individual permitiría al profesor-investigador
observar y comparar si el estudiante, había refinado su conocimiento previo.
El profesor-investigador participó
como observador durante la realización de la actividad y facilitó la discusión
grupal. Intervino con el planteamiento de preguntas que permitieran al
estudiante tener claridad de la situación, más que para explicar contenidos
matemáticos o dar sugerencias para la resolución del problema. Tres
investigadores más participaron en el estudio. Uno de los tres participó
durante el proceso del diseño, desarrollo, implementación y evaluación del
estudio. Los otros dos investigadores apoyaron en el análisis de los datos.
2.4 Recolección de
datos
Los
instrumentos de recolección de datos fueron las hojas de trabajo con las
producciones escritas por los alumnos, fotografías de las producciones de los
estudiantes tomadas durante el trabajo grupal y la bitácora del
profesor-investigador, la cual se realizó al término de la sesión. Se tomaron,
también, algunos audios durante la sesión. Estos instrumentos de recolección de
datos fueron útiles debido a que se usaron estrategias de triangulación para
verificar las hipótesis planteadas a partir de las observaciones descritas por
el profesor-investigador.
Los
productos de análisis principales, esperados y obtenidos en cada fase (de la
dos a la cuatro) fueron las cartas con los modelos de solución construidos por
los estudiantes. El contenido de estas cartas, usualmente, se refinó mientras
los estudiantes realizaron la actividad: surgió una primera versión de solución
propuesta por el equipo, la cual fue validada, modificada o ampliada cuando la
presentaron ante el grupo y, finalmente, los estudiantes propusieron otra
carta, escrita de manera individual, cuyo contenido fue influenciado por la
discusión grupal.
En
la fase 1 se esperaba que los estudiantes comprendieran el contexto del
problema, reflexionaran en términos de experiencias personales. Lo anterior se
revisó en las producciones escritas y verbalizadas de los estudiantes, que se
obtuvieron a partir de las respuestas a las preguntas incluidas en las hojas de
calentamiento y del audio.
En
la fase 2 se esperaba que los estudiantes incluyeran en sus modelos de solución
(contenidos en las cartas) representaciones matemáticas diversas, en las cuales
se observara la identificación de datos, relaciones de comparación y variación,
descripciones de tipo cualitativo, cuantitativo y quizás algebraico. En la
Tabla 3 se puede revisar el tipo de procedimientos y conceptos matemáticos que
se analizaron.
En
la fase 3 se esperaba que los equipos de estudiantes modificaran y ampliaran
sus modelos (representaciones, procedimientos y conceptos matemáticos) al
escribirlos en el pizarrón y comunicarlos al grupo. Finalmente, en la fase 4 se
esperaba que de manera individual los estudiantes modificaran y ampliaran sus
cartas y, por lo tanto, los modelos de solución propuestos, lo anterior, como
consecuencia de haberlos discutido en grupo, con apoyo del
profesor-investigador.
2.5 Análisis de los datos
Los datos fueron analizados con
base en aportaciones de la PMM (Lesh & Doerr, 2003) y de Vergnaud (1990).
Se detectaron los conocimientos matemáticos previos relacionados con la
proporcionalidad (exhibidos por los estudiantes universitarios al resolver la
actividad), la transición (cuando la hubo) entre los ciclos de entendimiento
cualitativo y cuantitativo (Tabla 2), las representaciones matemáticas y los
procedimientos utilizados. La Tabla 3 resume los criterios o categorías de
análisis: ciclos de entendimiento, representaciones (tablas, gráficas y
ecuaciones) y factores de complejidad cognitiva relacionados con las
aportaciones de Vergnaud (1990). Se consideraron dos factores de complejidad
cognitiva dentro del ciclo cuantitativo: a) Conceptos matemáticos asociados al
concepto de proporcionalidad: valores numéricos, razón, tasa, número entero,
decimal, fracción, porcentaje, variación, proporción, función lineal y
constante de proporcionalidad; b) Dominio de experiencia de los estudiantes
para resolver problemas: estrategias, algoritmos y procedimientos utilizados
durante la resolución del problema (multiplicación, división, algoritmo de la
regla de tres, análisis de unidad dimensional, búsqueda del valor unitario,
razones, operadores AV y AH).
Tabla
3 Categorías de análisis agrupadas en ciclos de entendimiento[3]
|
Ciclos |
Representación |
Procedimientos |
Conceptos
Matemáticos |
|
Cuali-tativo |
Verbal |
Comparación |
|
|
Cuantitativo |
Aritmética
sin organización tabular |
Aplicación
sucesiva de dos operadores |
Fracción
Razón Proporción
Variación Porcentaje
|
|
Tabular |
Uso de
operador razón (AV) |
||
|
Análisis
de unidad dimensional: Producto
de medidas (AH) Regla
de tres |
|||
|
Tabular-Geométrica |
Identifica
la constante de proporcionalidad y variables |
Variables
dependientes e independientes Constante
de proporcionalidad |
|
|
Algebraico |
Algebraica
|
Uso de
simbolismo algebraico |
Variable
dependiente Variable
independiente Función
lineal |
Fuente: elaboración propia.
3. Resultados y discusión
Los resultados de la actividad implementada se
han dispuesto de acuerdo con las fases de implementación explicadas en la
sección 2.3. Se describe el surgimiento y evolución de los ciclos de
entendimiento de los estudiantes con base en los productos generados durante su
trabajo en equipo, exhibido en las fases uno a tres y, finalmente, se señala el
ciclo de entendimiento que caracterizó su trabajo individual.
3.1 Primera fase, surgimiento del ciclo
de entendimiento cualitativo
La Actividad de
calentamiento despertó inquietudes en todos los estudiantes respecto al tema.
Ello permitió el libre intercambio de opiniones entre los integrantes de cada
equipo, las cuales, después de ser compartidas verbalmente, fueron plasmadas
por escrito en sus hojas de trabajo. Acto seguido, las ideas que habían sido
discutidas en equipo, fueron compartidas en la sesión grupal. Por ejemplo Las
ideas discutidas incluyeron descripciones cualitativas relacionadas con los
costos de los alimentos. Por ejemplo: algunas de las expresiones obtenidas en
relación a la pregunta mencionada en la Fase 1 del punto 2.3 fueron:
“¡Imagínate el costo de hacer una dieta para cada enfermo según sus
características!”, “cada insumo tiene un costo en específico que se debe
cubrir”, “el hospital administra sus recursos monetarios distribuyéndolos en
cada área… [incluso, debe tomar en cuenta] los insumos para cubrir los costos y
gastos correspondientes a la gestión alimentaria”, “Presenta un gran gasto al
hospital ya que cada paciente requiere de una dieta adecuada a él, los
ingredientes, etc”. Es importante mencionar que en sus comentarios se observa
cómo identificaron variables y la relación entre ellas, pero en un ciclo de entendimiento cualitativo (Vargas-Alejo,
Reyes-Rodríguez, & Cristóbal-Escalante, 2016).
3.2
Segunda fase,
surgimiento del ciclo de entendimiento cuantitativo
Entrega
del problema y trabajo en equipo. Las expresiones verbales se convirtieron en
expresiones cuantitativas, por ejemplo, la expresión “cada insumo tiene un
costo especifico” cambió a “el costo del ingrediente es de 10 pesos por
paquete”. Los estudiantes identificaron datos y empezaron a operar con ellos.
Es decir, durante la resolución del problema los alumnos pasaron de un ciclo de entendimiento cualitativo a un
ciclo de entendimiento cuantitativo (Vargas-Alejo, Reyes-Rodríguez, &
Cristóbal-Escalante, 2016). A continuación se describen los procedimientos
realizados.
3.2.1 Interpretación errónea de los datos
De los siete equipos, cinco (1,
3, 4, 5 y 7) identificaron de manera correcta los datos. Los equipos 2 y 6 no
los interpretaron bien. Aún y cuando sus procedimientos fueron correctos, los
resultados fueron erróneos, pues los estudiantes trabajaron los datos de manera
equivocada desde el principio, como se describe a continuación.
Los estudiantes confundieron el
dato semanal con el diario. Utilizaron el dato de los pacientes por semana como
el número de pacientes por día e hicieron lo siguiente (Figura 5). El dato de
las dos piezas de huevo (proporcionado en el problema) lo multiplicaron por 19
(número de pacientes adultos por semana). Es decir, los estudiantes realizaron
operaciones que, de acuerdo con Vergnaud (1995), reflejaron el uso de
operadores escalares y no funcionales Por ejemplo, escribieron como
procedimiento para encontrar la porción diaria requerida de huevo por platillo
para los pacientes adultos: 19 veces 2; donde, la única cantidad con dimensión
fue el 2 (piezas), lo cual se refleja en el resultado final: 38 piezas. El
equipo 6 realizó un procedimiento similar.
Figura 5. Estimación semanal de consumo de alimentos
realizada por Equipo 2.
Fuente: trabajo de los estudiantes.
Los
equipos 2 y 6 realizaron operaciones innecesarias. Posiblemente, debido a que
con frecuencia los estudiantes aplican procedimientos algorítmicos memorizados
que no saben cuándo o cómo utilizar en la resolución de problemas; tal como
está documentado en la literatura de investigación (NCTM, 2003; Santos, 2014).
3.2.2
Representación aritmética sin organización tabular
Como
se observa en la Figura 6, el equipo 4 llevó a cabo operaciones de
multiplicación y división realizando un Análisis
Vertical (Vergnaud, 1995) centrado en la noción de operador-escalar (sin
dimensión). En el procedimiento exhibido por el equipo no se observó el uso del
concepto de razón-operador.
Figura 6. Operaciones consecutivas realizadas por el
Equipo 4.
Fuente: trabajo de los estudiantes.
La
Figura 6 muestra las operaciones realizadas. Nótese que no hay comprensión del
uso del signo igual (error detectado en la literatura de investigación, por
ejemplo por Kieran, 2006). Para calcular la cantidad de galletas que consumirían
cuatro pacientes infantes un determinado día, multiplicaron cuatro (cantidad de
porciones a calcular) por nueve (cantidad de galletas requerida para una dieta
para adulto), obteniendo como resultado 36 galletas para cuatro porciones de
alimento de un adulto. Dado que los infantes consumían la mitad de la porción
de un adulto, dividieron 36 entre dos para obtener el total correspondiente a
los pacientes infantes. Es decir, los estudiantes primero multiplicaron y luego
dividieron reflejando el uso de operadores escalares: “4 veces 9” y “36 veces ½”. Esto muestra el manejo de la
fracción como operador escalar (Vergnaud, 1995). Puesto que la única cantidad
con dimensión era 9 (piezas de galletas), los estudiantes escribieron 18 piezas
como resultado. Este equipo fue el único que organizó sus datos siguiendo este
esquema, mientras que los otros seis equipos organizaron los datos de manera
tabular, lo cual se explica a continuación.
3.2.3
Representación tabular
Seis
de los siete equipos incluyeron en su procedimiento una tabla para resolver el
problema (ejemplo, Figura 7). En la tabla, realizada por el equipo 5, se
muestran cinco columnas y seis renglones. De izquierda a derecha, la primera
columna representa los ingredientes que requiere el platillo. En la segunda
columna, se registran las cantidades requeridas para satisfacer la demanda de
platillos durante la semana. La tercera columna especifica las cantidades por
presentación (paquetes) de producto que se requieren comprar para satisfacer la
demanda de los platillos. La cuarta columna, representa el costo de comprar los
paquetes requeridos. Finalmente, la quinta columna, representa las posibles
piezas sobrantes al comprar una presentación o un paquete de alimentos que
exceden la demanda para satisfacer la dieta.
Figura 7. Representación tabular realizada por el Equipo
5.
Fuente: trabajo de los
estudiantes.
En
la Figura 7 se observa el modelo propuesto por el equipo 5 donde, por ejemplo,
para satisfacer la demanda de huevo de los 26 pacientes (19 pacientes adultos y
7 pacientes infantes) se requerían 45 huevos. Los equipos propusieron comprar
el producto en paquetes por docena, por ello, los alumnos estimaron necesario
comprar 4 docenas (lo que implicaba comprar 48 unidades de huevo), con un costo
aproximado de 82 pesos por las cuatro docenas. Dado que, sólo se requerían 45
unidades (piezas) de huevo, se estimaron tres piezas de huevo sobrantes
(columna 5, Figura 7) al comprar las cuatro docenas.
Este
arreglo tabular es informativo y conceptos como variación, no son evidentes.
Sin embargo, se utilizaron conceptos relacionados con proporcionalidad como son
las magnitudes discretas, las fracciones (algunos de los ingredientes estaban
considerados en fracciones y fueron expresados en fracción, como se observa en
la Figura 7), la razón como operador y la proporción en el procedimiento para
obtener los datos que se observan en la tabla de la Figura 7.
Lo
anterior, se observó en los procedimientos de seis de los siete equipos quienes
utilizaron la regla de tres (Vergnaud, 1990; Giacomone, Beltrán-Pellicer, &
Godino, 2017) para identificar la unidad dimensional de las cantidades. Por
ejemplo, 9 galletas era la porción requerida para cada platillo de un paciente
adulto, sin embargo, al comprar las galletas era necesario conocer a cuánto
equivalían en gramos dicha porción. El equipo 1 realizó un análisis dimensional
(Figuras 8 y 9) donde explicó los pasos necesarios para encontrar
equivalencias.
|
|
|
|
Figura 8. Abreviaciones utilizadas por el Equipo 1. Fuente: trabajo de los
estudiantes. |
Figura 9. Análisis de unidad dimensional realizado por
el Equipo 1. Fuente:
trabajo de los estudiantes. |
El
equipo 1 recurrió a la regla de tres para llevar a cabo el análisis de unidades
dimensionales (tza, pza, etc.), esto evidencia una comprensión de la regla de
tres como una relación cuaternaria de variables que requirió de un análisis
dimensional.
3.2.4 Representación algebraica
Del
total de los equipos, sólo el 43% (equipos 1, 2 y 3) mostró en su procedimiento
un tránsito hacia una representación algebraica (ciclo de entendimiento
algebraico). Por ejemplo, el equipo 3 escribió una relación lineal (Figura 10)
e identificó en ella los siguientes elementos: una variable independiente, una
constante de proporcionalidad y una variable dependiente. Sin embargo, el
equipo 3 tuvo dificultades para nombrar y usar la variable independiente, así
como la constante de proporcionalidad (Figura 10). Aunque los estudiantes
identificaron patrones de comportamiento, no lograron generalizar las
relaciones en un lenguaje algebraico.
Figura 10. Acercamiento a una representación algebraica
de la función lineal por parte del equipo 3.
Fuente: trabajo de los estudiantes.
3.3
Tercera fase,
continúa ciclo de entendimiento cuantitativo
Discusión
grupal y cierre de la sesión. Aquí todos los equipos escribieron en el pizarrón
cada uno de sus modelos (Figura 11) y los explicaron al grupo. Esto permitió a
los integrantes de los equipos 2 y 7 darse cuenta de que habían interpretado
los datos de manera errónea y esto había afectado sus resultados finales. Presentaron
sus dudas en relación con los conceptos de razón, fracción, decimal y
porcentaje y con apoyo del profesor-investigador las aclararon, por ejemplo, el
problema presentaba la información escrita en números fraccionarios, sin
embargo, al momento de trabajar con los datos, los estudiantes expresaban las
cantidades como números decimales o porcentajes. Al momento de socializar los
modelos de solución alcanzados en equipo (ver Figura 11) surgían dudas entre
los estudiantes sobre si la expresión de 4/5 de taza de puré de manzana era
equivalente a .8 de taza de puré de manzana o a 80% de taza de puré de manzana,
los cuestionamientos giraban en torno a si era correcto utilizar cualquiera de
los tres valores y porqué. Los estudiantes también tuvieron dudas en cuanto
como representar algebraicamente la solución del problema (la forma algebraica
de la función lineal) y la utilidad de la estrategia del valor unitario para
encontrar la constante de proporcionalidad.
Figura 11. Procedimientos escritos en el
pizarrón por los estudiantes durante la discusión grupal.
Fuente: evidencia
del trabajo de los estudiantes.
La
doble proporción fue parte de las dificultades discutidas en la sesión grupal.
Los estudiantes debían calcular el posible costo del puré de manzana, para
ello, debían estimar cuántas piezas se requerían para satisfacer la demanda de
tazas de puré de las dietas de adulto; a cuántos kilogramos de manzanas
equivalían dichas piezas; y, finalmente, el alumno debía estimar el posible
costo de la totalidad de puré requerido. Esto implica varios cambios de unidad
dimensional. La estrategia que todos los estudiantes utilizaron fue la
aplicación, de manera consecutiva, de la proporción simple, en lugar de
escribir relaciones lineales como las mostradas en la Tabla 1.
3.4
Cuarta fase,
indicios del ciclo de entendimiento algebraico
Trabajo individual. En las cartas de los
estudiantes (por ejemplo, los integrantes de los equipos 2 y 7) mostraron
cambios en sus procedimientos y, por lo tanto, en su conocimiento matemático
con respecto a los inicialmente planteados en su equipo. Se observó en 20 de os
21 estudiantes que, a pesar de identificar patrones que pudieran permitirles
generalizar, los alumnos continuaron en un ciclo de entendimiento cuantitativo,
no exhibieron el uso del lenguaje algebraico. Sin embargo, el procedimiento de
un estudiante perteneciente al equipo 5 (Figura 12), incluyó una relación
algebraica para describir el proceso de solución del problema.
Figura 12. Tarea individual extra clase: representación algebraica alcanzada.
Fuente: trabajo de los estudiantes.
4 Reflexiones y conclusiones
Los
ciclos de entendimiento que emergieron antes de la discusión grupal fueron
cualitativos y cuantitativos (Tabla 4). Las representaciones utilizadas fueron
verbales, aritméticas sin organización tabular y con organización tabular donde
la variación no estaba presente (Figura 7). La representación más compleja y
cercana al proceso de generalización fue la tabular con el uso de análisis
dimensional (Figuras 8 y 9).
Tabla
4. Ciclos de entendimiento que emergieron ante la resolución de la APM
|
Ciclos |
Representación |
Procedimientos |
Conceptos matemáticos |
Equipos |
|
Cuali-tativo |
Verbal |
Comparación |
1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 (equivale al 100%) |
|
|
Cuanti-tativo |
Aritmética
sin organización |
Aplicación sucesiva de dos operadores |
Fracción Razón Proporción Variación |
4 (equivale al 14%) |
|
Tabular |
Uso de
operador razón (AV) |
1, 2 y 3 (equivale
al 43%)[4] 5, 6 y 7 (equivale
al 43%) |
||
|
Análisis de unidad dimensional: Producto de medidas (AH) Regla de tres |
Fuente: elaboración propia.
A
pesar de que la discusión grupal posibilitó que los estudiantes reflexionaran
sus procedimientos y los modificaran, con respecto a los inicialmente
planteados en su equipo, en el trabajo individual final entregado por los
estudiantes no se exhibió el uso de lenguaje algebraico en 20 de los 21
estudiantes.
Con
base en las preguntas de investigación planteadas inicialmente: ¿qué
conocimiento y habilidades matemáticas, relacionadas con proporcionalidad,
exhiben los estudiantes universitarios de los primeros semestres de la
Licenciatura de medicina al resolver situaciones cercanas a la vida real? y
¿cómo se modifica, extiende y refina este conocimiento y habilidades durante el
proceso de resolución de una APM?, podemos concluir lo siguiente.
Inicialmente,
los modelos de los equipos de estudiantes permitieron observar el ciclo de
entendimiento cualitativo y cuantitativo, con ello, el uso de conceptos como
fracción, razón y proporción en la resolución de los problemas, así como el uso
de la regla de tres. Se encontró que el 100% de los equipos de estudiantes
utilizaron el procedimiento de AV mencionado por Vergnaud (1990) o bien
operadores escalares para resolver el problema (asociados con la multiplicación
como suma reiterada). No se observó que los estudiantes utilizaran simbolismo
algebraico en los modelos inicialmente planteados.
Una
de las principales causas que pudieron dificultar el planteamiento de
representaciones algebraicas fue la ausencia del surgimiento de los operadores
funcionales o procedimientos de AH (Vergnaud, 1990) para encontrar solución a
la actividad. Sin embargo, la construcción, interpretación, comunicación y
análisis de los modelos durante la discusión grupal favoreció el desarrollo de
ciclos de entendimiento de los equipos de estudiantes. Se modificaron tanto la
interpretación inicial de la situación como el entendimiento de los conceptos
matemáticos.
Se
evidenció un cambio en las descripciones y comparaciones, las cuales, pasaron
de ser verbales a numéricas y evolucionaron a representaciones tabulares,
denotando la identificación de patrones, procesos de generalización e indicios
de expresiones algebraicas. El uso de distintas representaciones permitió dar
significado al concepto de proporcionalidad.
Durante
la discusión grupal también se observó mejoría en la habilidad de comunicación,
en relación con la comunicación inicial que se dio al interior de los equipos,
lo cual, de acuerdo con la perspectiva de Modelos y Modelación (Lesh &
Doerr, 2003), está asociada con la profundización de conceptos matemáticos como
lo es la proporcionalidad.
Una
actividad podría pensarse insuficiente para apoyar el desarrollo de
conocimiento proporcional en los estudiantes, sin embargo, tal como señala la
perspectiva de modelos y modelación, con la cual coincidimos, se encontró que
durante el periodo de realización de la actividad los modelos creados por los
estudiantes evolucionaron. Como se mencionó inicialmente, se desarrollaron
cuatro actividades más, las cuales no se describen en este artículo debido a
los límites en cuanto a extensión del documento y a la descripción que
interesaba mostrar.
En
resumen, con base en los resultados presentados en este documento, se observó
que el proceso de desarrollo del conocimiento de proporcionalidad por los
equipos de estudiantes fue un proceso continuo, que se efectuó en varias
dimensiones, acordes con las interacciones con el entorno que experimentaron
los alumnos con sus compañeros y el grupo. Durante estas interacciones
desarrollaron sistemas conceptuales, que les permitieron describir, comunicar,
predecir el comportamiento de la situación (Lesh y Doerr, 2003). El significado
del concepto (objeto, evento o situación) lo fueron construyendo al
relacionarlo con otros conceptos, en su forma de operar o funcionar, en los
usos que pudieron hacer con ellos. ⸭
Agradecimientos: Agradecemos a la Secretaría de
Educación Pública por el apoyo brindado para la realización de este trabajo a
través del proyecto PRODEP y al Programa de Fortalecimiento Académico para Indígenas
del CONACyT.
Referencias
Barrera-Mora &
Santos-Trigo. (2000). Cualidades y procesos matemáticos importantes en la
resolución de problemas: un caso hipotético de suministro de medicamento. En
Ministerio de Educación Nacional (Ed.), Memorias del Seminario Nacional:
formación de docentes sobre el uso de nuevas tecnologías en el aula de
matemáticas (pp. 166-185) Bogotá. Recuperado de https://www.uaeh.edu.mx/investigacion/icbi/LI_EconomiaFinanzasMat/Barrera_Mora/Barrera-Santos-2002.pdf
Burgos,
M., Giacomone, B., Beltrán-Pellicer, P., & Godino, J. D. (2017).
Reconocimiento de niveles de algebrización en una tarea de proporcionalidad por
futuros profesores de matemáticas de secundaria. En J. M. Muñoz-Escolano, A.
Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M. L. Callejo, & J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI
(pp. 177-186). Zaragoza: SEIEM.
Cpalms.
(2018). Integrated STEM Lessons as Model
Eliciting Activities. Recuperado de:
http://www.cpalms.org/cpalms/MEA.aspx
Cramer, K., & Post, T. (1993). Connecting Research
to Teaching Proportional Reasoning. Mathematics Teacher, 86(5),
404-407.
Doerr,
H. M. (2016). Designing sequences of model development task. En C. R. Hirsch & A. R. McDuffie (Eds.), Annual Perspectives in Mathematics Education
2016: Mathematical modeling and modeling
mathematics (pp. 197-205). Reston,
VA: National Council of Teachers of Mathematics.
García-Oliveros,
G., Granados-Silva, R., & Pinillos-Bohórquez, O. (2009). Razonamientos
proporcionales en estudiantes de enfermería. El Hombre y la Máquina, (33),
72-81.
Godino,
J. D., & Batanero, C. (2002). Proporcionalidad
y su didáctica para maestros. Recuperado de www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
Kieran,
C. (2006). Research on the learning and teaching of algebra. A broadening of
sources of meaning. En A. Gutierrez & P. Boero (Eds.), Handbook of research on the psychology of mathematics education: Past, Present
and Future (pp. 11- 49). Rotterdam: Sense Publishers.
Lamon, S. J. (2012). Ratio and proportion: Children's
cognitive and metacognitive processes. En T. P.
Carpenter, E. Fennema, & T. A. Romberg (Eds.), Rational
numbers. An integration of research (pp. 143-168). New York: Routledge.
Lesh,
R. A. (2010). Tools, Researchable Issues & Conjectures for Investigating
what it Means to Understand Statistics (or other topics). Meaningfully, Journal of Mathematical Modeling and Application, 1(2), 16-48.
Lesh,
R., & Doerr, H. (2003). Beyond constructivism: A models and modelling perspective on teaching,
learning, and problem solving in mathematics education. Mahwah, NJ:
Lawrence Erlbaum Associates.
Lesh,
R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional Reasoning. En J. Hiebert & M. Behr (Eds.), Number concepts and operations in the middle
grades, Vol. 2 (pp. 93-117). Reston, VA: National Council of Teachers
of Mathematics.
Lesh,
R., & Yoon, C. (2004). Evolving communities of mind: in which development
involves several interacting simultaneously developing strands. Mathematical
Thinking and Learning,
6(2), 205-226.
Megginson,
B., Sosa, L., Padilla-Carrillo, E. I., Solares, A., Martínez, C., & Lozano,
D. (2015). Un estudio del concepto de igualdad. En
M. García-Campos, & I.T. Sandoval-Cáceres (Eds.),
Memorias CMO-BIRS: Concept Study-Profound
Understanding of Teachers' Mathematics. Recuperado de http://prism.ucalgary.ca/handle/1880/51529
Mochón-Cohen,
S. (2012). Enseñanza del razonamiento proporcional y alternativas para el
manejo de la regla de tres. Educación
Matemática, 24(1), 133-157.
National
Council of Teachers of Mathematics. (2003). Principios
y estándares para la educación matemática. Sociedad Andaluza de Educación
Matemática Thales, Sevilla, España. (Trabajo original publicado en 2000).
Noelting,
G. (1980). The development of proportional reasoning and the ratio concept.
Part I. Differentiation of stages. Educational Studies in Mathematics,
11, 217-253.
Ramírez,
M., & Block, D. (2009). La razón y la fracción: un vínculo difícil en las
matemáticas escolares. Educación
matemática, 21(1), 63-90.
Santos-Trigo,
L. M. (2014). La resolución de problemas
matemáticos. Fundamentos cognitivos. México: Trillas.
Valverde,
G. (2012). Competencias Matemáticas
promovidas desde la razón y la proporcionalidad en la formación inicial de
maestros de educación primaria (Tesis doctoral) Universidad de Granada,
España. Recuperado de http://funes.uniandes.edu.co/8445/1/Valverde2012Competencias.pdf
Vargas-Alejo, V., Reyes-Rodríguez, A., &
Cristóbal-Escalante, C. (2016). Ciclos de entendimiento de los conceptos de
función y variación. Educación Matemática, 28(2), 59-83.
Vargas-Alejo, V., Reyes-Rodríguez, A., &
Cristóbal-Escalante, C. (2018). La deforestación como consecuencia del incremento de
áreas de cultivo: Actividad Provocadora de Modelos. Épsilon, Revista de Educación Matemática,
99, 7-28.
Vergnaud,
G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactiques des
Mathématiques, 10(2), 133-170.
Vergnaud, G. (1994). Multiplicative Conceptual
Field: What and Why? En G. Harel & C. Jere (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 41-59). New York: State
University of New York press.
Vergnaud,
G. (1995). El niño, las matemáticas y la realidad. México: Trillas.